Geometrias+No+Euclidianas

Autora: Silvia Sokolovsky
 * Geometría No Euclidiana: **

Los conceptos primitivos geométricos (punto, recta, plano) han surgido a partir de la necesidad de medir distancias entre puntos o localidades, superficies y volúmenes de objetos. En civilizaciones antiguas como la de Egipto, Asiria, India, etc. ya se conocían las principales figuras geométricas y la noción de ángulo. Pero fue en Grecia (Siglo VI y III a.C. principalmente) donde tuvo su principal desarrollo. En Alejandría, entre los años 330 y 275 a. c. vivió un hombre que sistematizó y amplió los conocimientos geométricos hasta entonces conocidos. Si bien pasó desapercibido (junto a su obra) en su época, estableció, bajo la forma axiomática, las relaciones entre los conceptos primitivos y sus principales propiedades. De él hoy conocemos sólo su nombre, Euclides, y que escribió en trece libros denominados Stoikheia (elementos), los axiomas y los teoremas deducidos de ellos. Desgraciadamente no han llegado hasta nosotros toda esta bibliografía, sabemos de la existencia de ellos a través de los comentarios que se han hecho posteriormente. En el primer libro se enuncian los axiomas de enlace o existencia que relacionan a los conceptos primitivos entre sí y sus principales propiedades. De ellos, para este trabajo, sólo nos interesan los cinco primeros. Ellos son: 1º- Trazar una recta de un punto cualquiera a otro: (lo que equivale a decir, por dos punto sólo pasa una recta ) 2º- Prolongar por continuidad en línea recta una línea limitada: (aquí surge la confusión de suponer a la recta como línea abierta únicamente.) 3º- Describir el círculo con centro y radio dado. 4º- Todos los ángulos rectos son iguales. 5º- Si una recta al intersecar a dos rectas en un plano, forman ángulos internos sobre un mismo lado (ángulos conjugados internos) cuya suma sea menor que dos rectas; entonces las rectas, si se prolongan indefinidamente, se encontrarán del lado sobre el cual la suma sea menor que la de dos rectos. Este axioma fue motivo de discusión casi desde su formulación. El propio Euclides no lo utilizó hasta el teorema 29. Su elaboración y la impresión de redundancia motivó la suposición que debería demostrarse como un teorema partiendo de los demás postulados. Sólo hace poco más de un siglo que la idea de tomarlo como un postulado independiente de los demás ganó adeptos y hace menos de cien años se demostró, efectivamente, que era imposible demostrarlo. Como ya se ha dicho, de los cinco postulados del sistema euclidiano, los cuatro primeros traducen propiedades más o menos evidentes, pero el quinto llama la atención por su mayor complejidad y por carecer de la evidencia intuitiva de que gozan los demás. Probablemente al propio Euclides le molestara esta deficiencia por lo que evita utilizarlo lo más posible. Sólo lo aplica por primera vez para demostrar la proposición 29 del libro I que dice : "una recta que corta a dos paralelas forma con ellas ángulos alternos internos iguales, correspondientes iguales e interiores de un mismo lado (conjugados internos) suplementarios." El esfuerzo de Euclides por evitar el uso del postulado **<span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">V ** <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">y construir la geometría con independencia del mismo justifica la muy repetida frase de que Euclides fue el primer geómetra no euclidiano, o que la geometría no euclidiana nació negando su paternidad. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">La primera idea que prevaleció por más de veinte siglos fue la de querer demostrar este postulado. Los sucesivos ensayos de demostración no dieron otro resultado que llevarlo a formas equivalentes, aunque, en ciertos casos, con apariencia muy distinta a la versión original. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Una tendencia que afloró repetidas veces fue la de modificar la definición de rectas paralelas. Para Euclides eran aquellas que "no se encuentran por más que se las prolongue" (Def. XXIII, libro I). Proclo, matemático bizantino al que se le deben las pocas noticias sobre Euclides, las define diciendo: "la distancia entre dos puntos de dos rectas que no se cortan puede hacerse tan grande como se quiera prolongando suficientemente las dos rectas". Esta proposición, que atribuye a Aristóteles y toma como evidente, vale que siempre las rectas se consideren líneas no cerradas. Así el 5º postulado puede enunciarse como : <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Esta última aseveración es la más conocida, la más comúnmente utilizada en la actualidad en los textos de geometría y se la atribuye usualmente a John Playfair, matemático y geólogo inglés de principios del siglo XIX. Otra orientación que propone un nuevo aspecto en la incidencia del postulado es la del Jesuita G. Saccheri según la cual se demuestra que dicho axioma es equivalente a afirmar que: " **<span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos ** <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">". <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Existen tres tipos de geometrías que surgen a partir del quinto postulado: <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">1. Si se lo acepta: Por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una recta paralela a ella. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Estamos frente a la geometría euclidiana, la que aprendemos en el colegio secundario. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Si se lo niega quedan dos opciones: <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">2. Por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas paralelas a ella. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Estamos frente a la geometría no euclidiana llamada //<span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">hiperbólic //<span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">a. Ej. Silla de montar. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">3. Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta paralela a ella. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Estamos frente a la geometría no euclidiana llamada //<span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">elíptica // <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">donde sus rectas son rectas cerradas llamadas geodésicas. Ej. globo terráqueo. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;"> <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Una forma de comprender las diferencias entre las tres geometrías se encuentra en la demostración de la proposición según la cual "la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º (un llano)", válida únicamente en la geometría euclidiana por ser equivalente al quinto postulado. En la geometría elíptica la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180º mientras que en la geometría hiperbólica es menor. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Los célebres Elementos de Euclides es una obra extensa, exhaustiva, que sin embargo deja sin enunciar explícitamente hechos esenciales como que dos circunferencias pueden cortarse, que toda circunferencia define un recinto interior y otro exterior, etc. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Es por eso que Bertrand Russell, con criterios de rigor modernos, pudo decir que la cuarta proposición euclidiana era una "trama de sin sentidos" declarando además escandaloso que estos libros fueran empleados (en su época) como libro de texto. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Por otra parte, la geometría de Euclides fue el primer intento decisivo de organizar axiomáticamente esta disciplina, y malamente podemos considerarlo culpable de no detectar todos los que le pondrían D. Hilbert y otros al formalizar el sistema de principios de este siglo. Entre las pruebas del genio de Euclides, ninguna más llamativa que la comprensión de que su notorio quinto postulado no era un teorema sino un axioma, y como tal, es preciso aceptarlo sin demostración. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">A principios del siglo XIX los esfuerzos por demostrar el postulado de las paralelas adquirieron carácter de manía. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">El matemático alemán Karl F. Gauss (1777 – 1855) fue probablemente quién creyera por primera vez en la independencia del quinto postulado al aceptar la posibilidad lógica de que existiera una geometría en la cual se negara al quinto postulado, pero, por temor a la incomprensión no publicó nada al respecto y sus reflexiones sobre el tema se conocieron sólo a través de correspondencia. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">En 1829 se publicó el primer trabajo sobre geometría no – euclidiana, fue escrito por el matemático ruso Lobachevsky (1793 – 1856), pero el desconocimiento del idioma ruso fuera de la propia Rusia y las muchas críticas que recibió en su país, impidieron que su trabajo llamara particularmente la atención. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">El húngaro Farkas Bolyai derrochó gran parte de su vida en tarea de demostrar el quinto postulado y en su juventud lo analizó no pocas veces con su amigo alemán Karl F. Gauss. Janos Bolyai, hijo de Farkas, llegó a obsesionarse de tal forma con el problema que su padre, conmovido, llegó a escribirle: "Por amor de Dios, te lo suplico, abandona. No le temas en menor grado a las pasiones de los sentidos, por que, como ellas, puede robarte todo tu tiempo y privarte de la salud, la tranquilidad de ánimo y el goce de la vida." <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Janos no atendió a los ruegos de su padre y llegó a convencerse muy pronto que el postulado, además de ser indemostrable, era independiente de los restantes y de su negación podía crearse un sistema diferente geométricamente coherente. Ufano escribiría a su padre en 1823: "de la nada he creado un universo nuevo". Farkas rápidamente pidió permiso a su hijo para publicar sus afirmaciones en el apéndice de un libro que estaba terminando de escribir. La breve obra maestra de Janos apareció, efectivamente, en el libro de su padre tres años después de la publicación del matemático Ruso. Lo peor es que cuando Farkas envió el apéndice a su amigo Gauss, el príncipe de las matemáticas le contestó que de alabar la obra estaría alabándose a sí mismo pues él había realizado idéntico trabajo muchos años antes aunque sin publicarlo, en otras cartas explicó de su miedo a las reacciones de sus colegas conservadores. Anonadado por la carta de gauss, Janos incluso llegó a sospechar que su padre hubiera podido revelar al alemán su formidable trabajo. Cuando, años más tarde, supo que el trabajo de Lobachevsky había salido antes que el suyo, Janos perdió interés en el tema y no volvió a publicar nada más. Hay que tener en cuenta que Janos era oficial de caballería y que para él las matemáticas eran sólo un hobby. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">En ciertos aspectos la historia del jesuita italiano Giolaro Saccheri es más triste que la anterior. Saccheri llegó a construir ambos tipos de geometrías ¡sin darse cuenta!. En todo caso Saccheri se negó a aceptar que ninguna geometría de estas estuviera libre de contradicciones, si bien algunos historiadores opinan lo contrario opinan que si Saccheri hizo creer lo contrario fue para que publicaran su obra. "Proclamar que un sistema no – euclidiano pudiera ser verdadero como el de Euclides hubiera sido una invitación temeraria a ser reprendido..." Por lo que el Copérnico de la geometría se valió de un subterfugio: corriendo un riesgo calculado Saccheri denunció su propia obra esperando que así, con esta mentira piadosa, lograra que su herejía burlara la barrera de la censura. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Lobachevsky y Bolyai construyeron una geometría donde, dada una recta (infinita) y un punto fuera de ella, había infinitas rectas que pasaban por el punto pero no cortaban a la recta, o sea, eran paralelas. Habían establecido la negación del quinto postulado y su geometría se llamaría "hiperbólica". Un momento importante en la historia de estas geometrías ocurrió en 1854 cuando George B. Riemann (1826 – 1866) presentó una tesis en la universidad de Gottingen, Alemania. Basándose en los trabajos de Gauss fundamentó una geometría basada en el concepto de la curvatura. Las geometrías pasarán posteriormente a describirse como casos especiales de la geometría de Riemann. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Es curioso observar como los creadores de la geometría no euclidiana de la primera mitad del siglo XIX, a pesar de su obra capital, parecieran alejarse del concepto platónico que preside Los Elementos de Euclides y, retrocediendo, vuelven a considerar la geometría como una ciencia destinada a medir las cosas de la tierra. En efecto, al vislumbrar la posibilidad de geometrías distintas de la euclidiana, en lugar de adquirir el convencimiento de que el postulado V es indemostrable, y que en consecuencia, existen otras geometrías igualmente verdaderas, mostraron una constante preocupación por averiguar, por vía experimental, cual era la verdadera geometría, es decir, cual era la geometría válida para la naturaleza. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Descripciones no – euclidianas del mundo físico, utilizadas por ejemplo en la teoría de la relatividad y en las investigaciones sobre fenómenos ópticos y sobre la propagación de ondas, se revelaron bastante adecuadas. Las nuevas geometrías colaboraron así mismo en la interpretación de modelos representativos de conceptos abstractos muy utilizados hoy en día en física y otras áreas de la ciencia, como por ejemplo la estadística. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">A modo de ejemplo: Newton entendía a la gravitación como una acción de //<span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">fuerza //<span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">s. Dos masas (imaginemos dos esferas) ejercen entre sí una fuerza que se "mueve"(figurativamente hablando) a lo largo de la recta que pasa por sus centros. Para Einstein la gravedad se debe a una "curvatura" del espacio – tiempo. Para él toda masa produciría una distorsión, una curvatura en el espacio por el cual nosotros nos "deslizaríamos". Imaginemos una cama bien tendida, su superficie se asemeja a una superficie euclidiana, una superficie plana. Si sobre esa superficie se apoya un libro pesado esa superficie deja de ser plana para transformarse en "curva". Cualquier objeto que se encuentre sobre la sábana cerca del libro se deslizará hacia él por efecto de la curvatura. En el caso del espacio – tiempo, La Tierra, por ejemplo, curvaría nuestro espacio de manera que cuando soltamos un lápiz él se deslizaría por "esa curvatura" hacia el suelo. <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Actualmente las geometrías no – euclidianas aparecen vinculadas a trabajos de investigación concernientes a los más diversos campos de interés de la matemática, así por ejemplo a los sistemas dinámicos, funciones automorfas y la teoría de los números. Su utilidad es muy destacada en el estudio de variedades (superficies) tridimensionales. F <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Geometría no – euclidiana Luis Santaló Ed. EUDEBA. F <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Geometría no – euclidiana, exposición crítico – histórica de su desarrollo. Roberto Bonola Ed. Espasa – Calpe Argentina S.A. F <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Fundamento de la matemática Alberto Dou Ed. Labor F <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Geometría no – euclidiana Sueli I. Rodrigues Costa y Sandra A. Santos. Revista: Ciencia Hoy, vol. 3 Nº 15 Set. – Nov. 1991 pg.34 F <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Relatividad general, el renacimiento. Damour Thibauld Revista: Mundo Científico Vol. 7 Nº 72 F <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Juegos Matemágicos: El célebre postulado euclídeo de las paralelas y sus modernos herederos. Martín Gardner. Revista: Investigación y Ciencia Nº 63 Dic. 1981. Pg. 122 F <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Geometría y Realidad física. Edgardo Datri. Ed. Educo. Febrero 1999
 * <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">NEGACIÓN DEL QUINTO POSTULADO: **
 * <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">CUANDO EL PARALELISMO EQUIVALE AL QUINTO POSTULADO: **
 * <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">V ** **<span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">1 ** <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">: Si una recta encuentra a una de dos paralelas, encuentra necesariamente a la otra.
 * <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">V ** **<span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">2 ** <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">: Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí
 * <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">V ** **<span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">3 ** <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta.
 * <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">LAS GEOMETRÍAS: Diferencias **
 * <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">El LADO OSCURO DE LOS ELEMENTOS **
 * <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">LA GUERRA DE LA GEOMETRÍA **
 * <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA NO – EUCLIDIANA: **
 * <span style="color: #000000; font-family: 'Times New Roman','serif'; font-size: 18px;">Bibliografía: **